دانلود پایان نامه های دانشگاه ها

فهرست مطالب

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1- مقدمه

جریان­های غیرچرخشی کاربردهای زیادی در تحلیل جریان تراکم­پذیر حول اجسام دارند. به عنوان مثال می­توان به جریان اطراف مخروط با گوشه تیز، جریان دوبعدی متقارن داخل نازل و جریان مافوق صوت بر روی اجسام باریک وبلند اشاره کرد (شکل1-1). با توجه به اینکه اعمال غیرچرخشی بودن میدان جریان بر معادلات حاکم بر سیال موجب حذف برخی جمله­های معادلات می­شود، آنالیز جریان­های غرچرخشی با سهولت بیشتری امکان­پذیر است. بنابراین، تحلیل جریان­های غیرچرخشی به یکی از موضوعات مورد توجه دانشمندان تبدیل شده است.

      

2- فرمولاسیون ریاضی

معادله حاکم بر جریان غیرلزج تراکم­ناپذیر غیرچرخشی به­صورت زیر است

همچنین اوپراتورهای لاپلاس و گرادیان را در دستگاه مختصات قطبی  می­توان به صورت زیر نوشت

 باتوجه به اینکه در جریان غیرچرخشی آنتالپی سکون ثابت است ()، لذا معادله انرژی را به­صورت زیر است

علاوه­براین، در دستگاه قطبی میدان سرعت به­صورت

است. با جایگذاری معدله فوق در معادله (2-3)، معادله انرژی به رابطه زیر تبدیل خواهد شد

با تقسیم طرفین رابطه بالا بر  و تعریف  داریم

حال با تعریف  و ، معادله فوق با رابطه زیر بیان خواهد شد

با جایگذاری (2-2) در (2-1) و ضرب طرفین تساوی در  داریم

با مرتب­سازی رابطه فوق می­توان معادله نهایی حاکم بر جریان تراکم­پذیر غیرلزج را با رابطه زیر بیان کرد

معادله فوق معادله­ای بیضوی است که در بخش بعد به گسسته­سازی و شیوه حل آن پرداخته شده است.

 

3- گسسته­سازی معادله حاکم بر جریان تراکم­پذیر غرلزج و غیرچرخشی تراکم­پذیر

معادله نهایی حاکم بر جریان تراکم­پذیر غرلزج و غیرچرخشی تراکم­پذیر بدست آمده به­صورت زیر است:

که در آن

و

یکی از راه حل­های معادله بیضوی (3-1)، تبدیل آن به معادله­ای سهموی به صورت

حل گذرا با زمان آن تا رسیدن به حلی پایا است. با استفاده از این تکنیک و گسسته­سازی زمانی پیشرو مرتبه اول صریح می­توان معادله گسسته­شده در زمان و مکان را به صورت زیر بازنویسی کرد

که در آن با انتخاب شرط اولیه مناسب و گام زمانی پایدار می­توان به جواب دست یافت. بنابراین معادله نهایی به­صورت

 

است. این معادله به صورت صریح با انتخاب گام زمانی  بر روی تمامی شبکه­ها پایدار است. همچنین با گذشت گام زمانی، تغییراتی در میدان پتانسیل میدان  مشاهده نخواهد شد. بنابراین، مقدار انتخاب شده برای تمامی اعداد ماخ جریان آزاد به عنوان معیار همگرایی برنامه درانتخاب شده است.

 

4- شرایط اولیه

 در تحقیق حاضر شرط اولیه  میدان پتانسیل سرعت جریان تراکم­ناپذیر غیرلزج حول استوانه در مختصات استوانه­ای به صورت زیر در نظر گرفته شده است

در صورتیکه شرط اولیه میدان حل برابر صفر انتخاب شود، با افزایش تعداد نقاط شبکه به دلیل بروز خطا در میدان حل، امکان دستیابی به جواب وجود ندارد. بنابراین، انتخاب شرط اولیه مناسب در رسیدن به جواب بسیار راهگشا خواهد بود.  

 

5- اعمال شرایط مرزی

در  و  شرط مرزی تقارنی با درنظر گرفتن نقطه مجازی به­صورت زیر اعمال شده است (شکل5-1)

بر روی سطح استوانه نیز مولفه شعاعی سرعت برابر صفر در نظر گرفته شده است

در نهایت برای دایره خارجی نیز مولفه افقی سرعت معلوم مقداردهی شده است

که در تحقیق حاضر، شعاع دایره بیرونی 15 برابر شعاع استوانه انتخاب شده است.

i=M

J=1

i=1

J=M

شکل 5-1- شبکه در مختصات قطبی جهت اعمال شرایط مرزی

 

6- بررسی عدم وابستگی حل به شبکه محاسباتی

در این قسمت حل بر روی شبکه  به عنوان حل اولیه درنظر گرفته شده است (شکل6-1).

 

باتوجه به دو بعدی بودن میدان جریان، ابتدا با ثابت درنظرگرفتن تعداد نقاط در راستای ، تغیرات عدد ماخ  روی سطح استوانه با تغیرات  در عدد ماخ  مورد بررسی قرار گرفته است. این تغییرات  در شکل6-2 نشان داده شده است. چنانکه مشاهده می­شود با افزایش تعداد نقاط در راستای ، جواب‌ها همگرا­تر می­شوند. علاوه­براین، با افزایش تعداد نقاط از 50 به 60 تغییرات عدد ماخ روی سطح استوانه بسیار اندک است. بنابراین، 60 نقطه در راستای  جهت حل نهایی انتخاب شده است. لازم به ذکر است که علیرغم همگرا شدن میدان حل، جواب بدست آمده از دقت اندکی برخوردار است. زیرا با  انتظار بیشینه ماخ حدود  است، درصورتیکه بیشینه ماخ بدست آمده برابر  و دور از واقعیت است.

 

 

روندی مشابه جهت دستیابی به میدان حلی تقریبا ثابت در راستای  انجام شده است که نتایج حاصل از آن در شکل6-3 نشان داده شده است. چنانکه مشاهده می­شود، در راستای  نیز با فزایش تعداد نقاط، جواب دقیقتر می­شود و پس از افزایش تعداد نقاط از 70 نقطه، تغییرات محسوسی در توزیع عدد ماخ روی سطح استوانه مشاهده نمی­شود. بنابراین، می­توان از شبکه  جهت اجام محاسبات استفاده کرد. البته جهت افزایش بیشتر دقت، شبکه  به عنوان شبکه نهایی درنظر گرفته شده است و تمامی محاسبات بر روی آن انجام شده است (شکل6- 4).

7- اعتبارسنجی برنامه رایانه­ای

اعتبارسنجی برنامه رایانه­ای توسط حل جریان در عدد ماخ  انجام شده است که در آن جریان تقریبا تراکم­ناپذیر است. باتوجه به اینکه در معادلات حاکم بر جریان، فرضی مبنی بر تراکم­ناپذیری وجود ندارد لذا، معادله حاکم در ماخ­های پایین () نیز صادق است. در شکل7-1 خطوط جریان نشان داده شده است. چنانکه مشاهده می­شود، خطوط جریان مماس بر مرزهای تقارنی است و دور از مرز استوانه نیز سرعت میدان حل در راستای سرعت جریان آزاد است.

 

بردارهای سرعت در شکل7-2 نشان داده شده است که در آن بیشینه سرعت بر روی سطح استوانه است.

 

 توزیع عدد ماخ بر روی سطح استوانه در شکل7-3 نشان داده شده است. همانطور که مشاهده می­شود بیشینه عدد ماخ بر روی سطح استوانه در  و برابر  است که نزدیک به میدان جریان غیرلزج تراکم­ناپذیر() است. بنابراین، اختلاف اندکی (کمتر از ) بین نتایج حاصل از حل عددی و نتایج حاصل از حل تحلیلی در این عدد ماخ قابل مشاهده است که این اختلاف نیز ناشی از اعمال اثرات تراکم­پذیری است.

 

 

8- نتایج و بحث

پس از اعتبارسنجی کد، حل بر روی شبکه  در اعداد ماخ مختلف تا رسیدن به عدد ماخ بحرانی انجام شده است. پیش از محاسبه عدد ماخ بحرانی، خطوط هم­تراز مولفه­های افقی و عمودی سرعت، عدد ماخ و میدان پتانسیل بدست آمده در عدد ماخ  در شکل­های 8-1 تا 8-4 نشان داده شده است. چنانکه مشاهده می­شود، خطوط هم­تراز پتانسیل بر مرز استوانه عمود هستند.

 

 

 

 

 

همچنین، بردارهای سرعت در ماخ  در شکل8-5 نشان داده شده است. چنانکه مشاهده می­شود، در نزدیک مرز خارجی بردارهای سرعت کاملا افقی هستند و سرعت برابر سرعت جریان آزاد است.

در شکل8-6 تغییرات بیشینه عدد ماخ روی سطح استوانه بر حسب تغییرات عدد ماخ جریان آزاد تا رسیدن به  نشان داده شده. چنانکه مشاهده می­شود، روند تغییرات بیشینه سرعت روی استوانه با تغییرات عدد ماخ جریان آزاد خطی است.

 

 

دو روش جهت محاسبه  وجود دارد. در روش اول مقدار  به اندازه­ای افزایش می­یابد که کد واگرا شود. در این حالت عدد ماخ بحرانی بدست آمده برابر  است و بیشینه ماخ روی سطح استوانه برابر  است (شکل 8-7).

 

 در روش دوم  به اندازه­ای افزایش می­یابد که بیشینه ماخ محاسبه شده روی سطح استوانه برابر 1 شود. در این حالت  است (شکل 8-8).

 

لازم به ذکر است که عدد ماخ بحرانی برای جریان لزج بر روی استوانه برابر  گزارش شده است. چنین به­نظر می­رسد که اختلاف بین نتایج حاصل از حل عددی و  ناشی از حذف اثرات لزجت در محاسبات است.